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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ylOI:AJFy  
K}v{m}b<K  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Ii;=Hk|Y  
>['gG=K}Ep  
　　1、三角函数本质： Agp%E0@6y'  
;Ej HBg&  
　　三角函数的本质来源于定义 .mA#O9|  
$?S 1UZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 a+<4](]  
4Imu- g0!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 z[2O`hNy  
]AM, pAn  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： aZ[!@`%Z  
7B44X|{`mE  
　　推导： XC9Sr`J9  
LE?&_ LJ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ]}$eDhjUBt  
vy;oG 35  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) .c m9G_  
?rB\+IY[^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 2d zpQv.  
eQpv`Hf  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <>KQ#/r.  
"} '?3k  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ai2`X-r)*  
"3vG  
　　[1] rS]K1 Kae  
#t%hD+{X+  
　　两角和公式 /moys#(  
e EYJ,S6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB .fpJ1re Y  
.7lAAR2A  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  VtO?@Ez%G  
YT0M9R<Y-  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB AX'{5m~i  
b2:6L=DS  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB "mc ;E&">  
spE%ZXsSy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6%z^5WS  
^0U'@d'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) /wuF,(  
uf;1b~gO  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  r ! !}h^R  
0$Z-:aG  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) uO69M<MQ  
kK!8Rw9$*  
倍角公式 DVD?S.d7R  
X0W/.'~:  
　　Sin2A=2SinA•CosA W(50fkcx$  
{Y7Prn  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 e@e]  
NJ!x3GHD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ' _tm:b/]Y  
sBm8XW,dM  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） tgqqX3xl&  
KSo{b  
三倍角公式 98I&<P!  
L#P{^C0  
　　 5A$UxC{e  
re'MT uZ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) u q 6Cw  
}>9*<{^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) c;6<Se  
2>qM9}g  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *QmaBK  
pB[EeoT9/  
三倍角公式推导 /P:.@M-HX  
KtA"ao%D  
　　sin3a gu'h9o>  
VX<4 sl{  
　　=sin(2a+a) ,a303g  
H;alzO>|  
　　=sin2acosa+cos2asina r3vMETM_#  
{8&nR*[  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ? -"3|VL  
!pfq_`lg  
　　=3sina-4sin³a 9c5|ZR  
49Tl=A"?a  
　　cos3a  @q$h_ tH  
s&$6Xvw![l  
　　=cos(2a+a) /w{qDI  
g5jV%P<@'  
　　=cos2acosa-sin2asina g091Z8K  
OwQj5qFP@  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ]%\q &  
v>'JOm 24  
　　=4cos³a-3cosa z}+^F'2o  
at~JK,NK  
　　sin3a=3sina-4sin³a W!,5=eZ)U  
8>!+A  
　　=4sina(3/4-sin²a) %KEwQz  
boNS>  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J +o  
IM8Qr0ij&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @(7SP.  
9MaO&s'  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) l8<O"th  
E QVy7Xgs  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 60Gz8xJP  
4<S:! NZT  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) xXvh4 94s  
3p@l^A]/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa IFGSS:?  
X9*sAQ {Z  
　　=4cosa(cos²a-3/4) "nu TXd)  
f3pz"^)|'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [~e@]X!w  
g*wchg;X  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) eMUrVEd(  
BU -s2=<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) {[-u)-zX  
oU0w Y=Nx  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MO}) qp  
  NF=o  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *V5AfzG  
{ z- >$c@  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] l(hJ iB\  
nlI`l  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] gDIk V43  
pP3FjGv}r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m6{"s0,|(  
87n xH \  
　　上述两式相比可得 $&~v4qc   
,mI [J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ptJIQUC[1D  
5 DH3.B  
半角公式 urC*92v  
cjGxp 5  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `8[FnSJ=l  
XOhtqr9  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hJiqU O  
9:>0T^Tw`  
和差化积 }wTvCG VB  
"qZ*UM)  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m 1Rc](  
kOku5~95i  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !z"e%)Y.P  
|2gR?J|a  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $(D6%!p  
Tr0/MX:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g&j*>|DP  
43h>fr%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) iO,pc1\pn  
R$ng_GHYI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) b=c}x178z  
H wLb>o]  
积化和差 ,K= h3GIcS  
0>@<,  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] e(v^y^lx  
S@BF^pcR  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] RI-Ew 0x8=  
TFvxo$7(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9s9M^wxY  
UqJ =cg]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ZM'HTZ  
<@4Cx"e{b  
诱导公式 vwq>q6.T  
R;7XRx",  
　　sin(-α) = -sinα pTVZa  
iEV9 wk,  
　　cos(-α) = cosα k{\]tw'!#~  
=awA\0i:  
　　sin(π/2-α) = cosα g> ~[ ^IC  
@mW-=X5 q  
　　cos(π/2-α) = sinα &=M6]cSJ  
2a9ok %9  
　　sin(π/2+α) = cosα VTrb#W  
wnwB}  
　　cos(π/2+α) = -sinα Ux0)aWz  
,OG&'!qb  
　　sin(π-α) = sinα 2[f}yq  
1@Lt57&  
　　cos(π-α) = -cosα 2Y\> Bc  
==FV  
　　sin(π+α) = -sinα N'gWEWK#  
LeTlym36  
　　cos(π+α) = -cosα ~+yOLv  
L4dVb_W  
　　tanA= sinA/cosA hCa/W  
C85hI 7 -G  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Un/}!=tl.  
8Q?]p5A  
　　tan（π/2－α）＝cotα `tu1)-|q  
x4kXd8T  
　　tan（π－α）＝－tanα l\uh"A:I6p  
O }Yp|&G  
　　tan（π＋α）＝tanα ?:#$H0  
8IrV=XcUTE  
万能公式  5;  
b?LDQke  
　　 n&8^;n\ 8  
VJoW$ r3G  
其它公式 *6,rKWhF  
n'Q!iS{J  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }5X<!>X-  
y`bz&</  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0N3ZA>U  
ixss'1DM  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 d r;aw  
c U]{*W"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -[&$PBx  
S*_K)]  
　　对于任意非直角三角形,总有 ycN;tG4  
`~ K`ZV  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC g[7y |M<  
z^rDKIM  
　　证: V _\#qgqV  
E$lH+Q  
　　A+B=π-C Y)`2'do K  
h>8D4b$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) PKRbjIL   
/aSBUX0`1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) EQ}@oi>  
ml Zr{D=  
　　整理可得 GmC>n|  
[Uf/ -}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b4#!f=x5  
*w"cV&dz  
　　得证 lea'Zd4u  
wlpN8#Kd  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 jf)rB7Sw9  
.!~fPc{  
其他非重点三角函数 l8Nv!Zo!$  
IXSakxVs  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~4BdW(0[1  
KX8+oz  
　　sec(a) = 1/cos(a) w]F,^M5  
9hnn  lH  
　　 $m- f!  
}"ZSUbm  
双曲函数 03Qyekwl  
] sCM)/,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 28PNgK;>  
m_ 4]0vM  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2tliu.k  
b;tUg:EBF  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) HrBqv:F  
dxktgy?P  
　　公式一： X]``T<Op_  
j.T3o  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： D!QT f|&#B  
X}}5 (g\1  
　　sin（2kπ＋α）= sinα th:P E}}  
.~_"m%4  
　　cos（2kπ＋α）= cosα G@RKvN-;!P  
O~X{   
　　tan（kπ＋α）= tanα ]&8x( d<}  
o4)zL_ 9  
　　cot（kπ＋α）= cotα !ueLh!\  
N_%WzzT  
　　公式二： u Ez 4S"n!  
(\/Z;C?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： pHv2lk  
G[`n >  
　　sin（π＋α）= -sinα z,E$n/Ghi  
M7W,<$:_  
　　cos（π＋α）= -cosα lQk 5!ZW  
Ig0sfA]I  
　　tan（π＋α）= tanα Bw?NOZGt  
<WzvZ;n  
　　cot（π＋α）= cotα 6g>\g!Pfu`  
K57e"Kk$_  
　　公式三： /j n|#G^  
_mDahft>S  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： bGf'v5khw  
X ;JfF[h  
　　sin（-α）= -sinα ACGjZ ZMB  
5RoJw5NaG  
　　cos（-α）= cosα %V4$r&1) +  
qG2=q-0v  
　　tan（-α）= -tanα qM(N\fp7bg  
\HW6Jzzg?a  
　　cot（-α）= -cotα oWgB4{&}T  
[,]E'NPOp  
　　公式四： p!Go05}  
@wmjU  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  IOiwji  
]h {6 f_  
　　sin（π-α）= sinα \PF nao  
o]ar+WK  
　　cos（π-α）= -cosα |")D\.ZH;  
oB ix 1  
　　tan（π-α）= -tanα 'f:fvJ?  
y"#"FT~?]  
　　cot（π-α）= -cotα [aR[\ 4  
&gvR  
　　公式五： @4:L,Xe  
? fE\K  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 8x- i)+2  
adm|a$+D  
　　sin（2π-α）= -sinα Yd^_E(KW  
\5-v E5(  
　　cos（2π-α）= cosα D6~=f?V  
}m:g1[L  
　　tan（2π-α）= -tanα XN7wBeh9  
kqB}6 [  
　　cot（2π-α）= -cotα IA)onx"  
B 7h W)|  
　　公式六： OcpT*XZf-  
@-^pv7A  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： iv&U5D?,  
|e}pZLW1  
　　sin（π/2+α）= cosα D t;Oa*f  
Q\&Z<nl9  
　　cos（π/2+α）= -sinα l.y?zl<i  
{e8='&G  
　　tan（π/2+α）= -cotα l~eLH\;|  
G`!"xVa  
　　cot（π/2+α）= -tanα YE5s/v!|j  
d#@7ku~tk  
　　sin（π/2-α）= cosα v}GkrQC:D  
= {>X3o  
　　cos（π/2-α）= sinα r9eEMoM)  
1(i`yw&  
　　tan（π/2-α）= cotα mvw^w0x<u;  
1p8@  
　　cot（π/2-α）= tanα (U?[ Xk@  
Gef'X  
　　sin（3π/2+α）= -cosα L fh&yk V0  
v@A):  
　　cos（3π/2+α）= sinα `L~djn  
Q8=gsz\-#t  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Uh#Lp  
uty0SOukN  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,4BzU.R||  
1)u!xWF;  
　　sin（3π/2-α）= -cosα o}x}  
H/`i~w8's  
　　cos（3π/2-α）= -sinα E7JO<K ^  
lToC6IFV?7  
　　tan（3π/2-α）= cotα #{xN1? M3  
Xbb|owW  
　　cot（3π/2-α）= tanα CC<m^F!  
' Bj\!t!  
　　(以上k∈Z) xE|,[4rk  
;h6DQ<Tr  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 pi.X 4G1  
 G8UUA  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2rWiDv&  
GH @VJ`  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S2ZdZ4U  
>59Wc`*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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