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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 K}bG.>U   
8n >4}h  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A!M^&_H r  
VeWm~E  
  1、三角函数本质: ox\FkAs#UZ  
T)-u2u9  
  三角函数的本质来源于定义 Hbn5mZ &  
f!!ZbS$ l  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 P E;L]i  
 u{q$L~c  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `HX%i  
pV(_:   
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 1Nr<_Za  
qd<A eaMD  
  推导: WX"ar {  
ScxMP0d  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 s( !vpCM  
77y|zgj  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j|s5J6;  
I0!,Xel  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  z<7."$!  
/ghbICvR  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 e p@Kg7q  
!BR9BHZ  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) a,4!  
Fx:O^Wh  
  [1] Z^J`}Wf0  
JVu|3c-ta<  
  两角和公式 $IVOJ#\  
/@_[7&oC  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB TF"J\~8G  
FX.3 9uT`  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ZGpy+=p  
r VL=4v  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB y-XN M+  
mex:#tq  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB .X< 73  
Wr:.?i  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TX+p!}dI  
TdimS~3  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) m,Woi TI  
,VY?YSF  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  gBx[Rns#{  
=jPW* 2v  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 9B/v99k>  
J_Cv:%\q  
倍角公式 @bA MZ+  
uB S 0  
  Sin2A=2SinA•CosA O/T1>Js  
s@Nd5m  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,F<iO!Te&%  
D @b .0  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) I0~uSpW  
`_%`0jMjs  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) qi@QX}Oe  
e;pRv  
三倍角公式 EF]?L"vQ  
j<2u);Q  
   ?5g4UJD2P_  
t")ml<Zn  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rv`0j_r?  
rRK/QT&`  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uNi3#X9sJi  
W<i=k*z  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) xH) [T_  
K+jLA_">  
三倍角公式推导 }t!2T\E  
ixx`K.xW_  
  sin3a k/B`z L  
0y'`-V/K?  
  =sin(2a+a) O6@++cYN  
Yz)}6dt@  
  =sin2acosa+cos2asina $k/R1CT~x  
60D)Uf`c  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina M,}keYk0qM  
zXulll  
  =3sina-4sin³a L:>o Tw_W  
n[A8 Ln  
  cos3a 'o.x8]m[+  
+SQ" `]4l}  
  =cos(2a+a) BPbar  
,W0y; iS1  
  =cos2acosa-sin2asina #qt[`' L'  
=);V  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2S.xqYFG;  
p@P#@:5  
  =4cos³a-3cosa IV{a$|L#  
5A/${&I  
  sin3a=3sina-4sin³a 1q N]2qq  
sp q(  
  =4sina(3/4-sin²a) ;|k$9_  
9Q@YuNdp"  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] a~yQU zI8  
^ELaA@8kI  
  =4sina(sin²60°-sin²a) *gE7C  
mG>(UmLRMz  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CD3a12%!b  
QF4N2TF  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0?(& Ym/Gb  
 3GeqLde  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _,Z cRL  
c{+?8,;mN  
  cos3a=4cos³a-3cosa ?Ltc6@f<  
Vf&0-9]  
  =4cosa(cos²a-3/4) @9Bvofs  
\\b@S: ~3  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] wq'(- bf  
7#Hr 3=  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) N2!o\&j\r  
(h^U1M  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NXi#H$  
XxS"M\N  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V?sW}!o  
~95}.ci'  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) t@ j{z K  
8I}Bbf7S}  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] d~*,=G  
neKU S^  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] d8Ma=9N?+@  
B{Zjo6@  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ! $1]4J   
}i8VepW=Z  
  上述两式相比可得 2eh9kzu  
V TU&i+ e|  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }^h'x03_  
.i=iY&.  
半角公式 Z5@LX:*0  
get[rz  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); w<}`~,U  
nV,C^D*  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. jjzr~#  
-c8LsNG#  
和差化积 NaFl F:`  
h9~' 84  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JsWQ7@[  
p:a jw  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i`1Xa9C  
Op1Yycp0  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A{Xo2[~cY  
4.2,($  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ls3p@t?8#  
x*zpeAU#  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $f#~3i%<m  
D}Efil`"  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ekXFQ/Bnu  
f$mPHJ  
积化和差 =$E} <#2<  
(Z/\7Jb  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]  >Lip2x  
y;Q*x6 >7  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $ :ZZD+!tn  
+C6>9B=8S  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9TJrqw /  
1l`-[cO)  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~TMp"J  
^*)Q8CC`  
诱导公式 dG2%^WO7  
*"X/\LV  
  sin(-α) = -sinα JRN=H)  
c%tr7jXs  
  cos(-α) = cosα 6MJ\,r  
aN 0)i+?  
  sin(π/2-α) = cosα "]~&5fcP,  
!t3<zuW7d  
  cos(π/2-α) = sinα h_+7^ nZ  
ke#_#\!,^  
  sin(π/2+α) = cosα q |j &\wm$  
Y#=">k \  
  cos(π/2+α) = -sinα c:)[eg  
~ug`mN  
  sin(π-α) = sinα sESy<`  
P u(JCA4  
  cos(π-α) = -cosα |RN=<>8  
t';;Zs%$e  
  sin(π+α) = -sinα Z vY u.  
9aZ]=@[  
  cos(π+α) = -cosα u\PVb`TS  
XEwEngT  
  tanA= sinA/cosA 1K24a.  
p(y~=H;J9x  
  tan(π/2+α)=-cotα 7Ew<ZS  
DW:RG1-[Gx  
  tan(π/2-α)=cotα :vtn{j[o  
7 *D@~jb  
  tan(π-α)=-tanα 2 Ne P'  
MUkaDiTD  
  tan(π+α)=tanα wio@J-{  
T4}zl:y_e  
万能公式 b1C!-@&  
~N4L7"6r  
   t.aU,\2  
`xD k '  
其它公式 Zc$eD D-Ep  
u]c Ri  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 +j~p2U;T%&  
3u_&HJK\  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 =.="CZ  
fbZhJkL  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 `}K^yS*|  
gB1Ft+^l  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 5sJl] [a  
j279y|~  
  对于任意非直角三角形,总有 34i7adc  
.|{KL'pDl  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC OqP|W@ {h/  
yK#". 2)s  
  证: %/BsoaC5`  
Ma.qR9  
  A+B=π-C JeF<z7W&H  
@Tq= P  
  tan(A+B)=tan(π-C) sLpf{X4  
]0#dbg^GxS  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `el|!lkO/B  
b{<&ir  
  整理可得 (b7(|Jc0s  
|QQ'`t6*  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u B/|}  
<)$1@NR:S  
  得证 j|^lu*%  
5FpwGOF  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,wgne~}H  
ui/]x  
其他非重点三角函数 !hMb#)\  
l@{48YD3  
  csc(a) = 1/sin(a) EME*tdAD  
SIyG?~@  
  sec(a) = 1/cos(a) h(|<d*{8w  
cZ6xftC  
   $m<c 7L  
vXY]*KqR  
双曲函数 g@lc $  
A(U)Oz4[D  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .!XR [G&v  
4/2?JZ^8  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ks3#ITMk  
Pa O ?'8  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2fb.0{hx  
:xhf C nx  
  公式一: [ u7~  
1KEIJ756  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 2+aW7KV  
=2sTho<  
  sin(2kπ+α)= sinα kjH<x`  
m(A),q;N  
  cos(2kπ+α)= cosα 217;H_  
B/x;Ia8  
  tan(kπ+α)= tanα vUAi"]K;]j  
;_n'Dj8<  
  cot(kπ+α)= cotα t0!R,K  
w`Qa^25]  
  公式二: UCUPp  
~N>~Q`@  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 7OE|TFlK1  
#+s+H\BAOX  
  sin(π+α)= -sinα {Jj7C&5lp/  
^ &;6vD  
  cos(π+α)= -cosα (:Fz><@X2  
/ .H4f MR  
  tan(π+α)= tanα $uV ;M3RW  
)>'w7 ^ O  
  cot(π+α)= cotα >G%TjXy  
(pkd8F XI  
  公式三: d$lel* #  
 BfC24''  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: H mR /t1  
xP9 /UB  
  sin(-α)= -sinα OyA9PGK  
Qx.;YD  
  cos(-α)= cosα KEk '@  
rBlt.3i8  
  tan(-α)= -tanα &JTpM<=  
.!nYkH  
  cot(-α)= -cotα _e h'G m<d  
Dfv*)a  
  公式四: !C<K-1yOI  
yP%J{Rx&  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ~6/%<Sw&r  
a7Kl&P}9b  
  sin(π-α)= sinα Ocr IB 5  
l}6lJ9Pw  
  cos(π-α)= -cosα UmFxYEo<-  
M.vKAG,  
  tan(π-α)= -tanα HW+K+5Nj#  
5B 9_JS  
  cot(π-α)= -cotα TJ3m~pW  
l;s,c/+)b  
  公式五: uwwLp:  
r>@&C!_  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ;TV_~q $  
^l_F%Y.'P  
  sin(2π-α)= -sinα z4+h#T?  
wS95hpN  
  cos(2π-α)= cosα P[ ] H<o  
eU)Cu`a  
  tan(2π-α)= -tanα jvc=  
d:72(k >9  
  cot(2π-α)= -cotα 2^,^F;t~  
(g&vI\xk04  
  公式六: ~H&{8{;J'  
} /v:k  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ;F<E{uU  
!4F{QS  
  sin(π/2+α)= cosα hTJI+>  
WL5Ie'Ha  
  cos(π/2+α)= -sinα /,7(UwI  
NsB<l>8@  
  tan(π/2+α)= -cotα y OBH cN'  
RBo{&Y| V  
  cot(π/2+α)= -tanα rU+0~3`  
/cp<m=Yf  
  sin(π/2-α)= cosα e>`4EQE(  
y[he63  
  cos(π/2-α)= sinα rbNTJ  
~X;; ~c  
  tan(π/2-α)= cotα G+`j  
pNYwab\ "z  
  cot(π/2-α)= tanα z.|0YW,  
Z{dE,rv  
  sin(3π/2+α)= -cosα  *qg-5  
(cBPc^/  
  cos(3π/2+α)= sinα 7!SNdMo  
pJ6%8;d@  
  tan(3π/2+α)= -cotα Hm R?,mJw  
\wQ@e) jJ  
  cot(3π/2+α)= -tanα \+c;4&|Y  
^SD)*B#  
  sin(3π/2-α)= -cosα `:)?fIA  
+!VKK@c$  
  cos(3π/2-α)= -sinα Nk!e2X  
( i[uo&  
  tan(3π/2-α)= cotα |D :_.  
z;u_N)/,Zp  
  cot(3π/2-α)= tanα ?g`9>+z,  
!s q];  
  (以上k∈Z) OYSg<LSN &  
hTFA@O(  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 u1 1K/ u  
O7myvVY  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 'l5Fh)c{h:  
 AZp&J  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ZvYX7-(  
Laz#YA  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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