三角函数内容规律 K}bG.>U
8n
>4}h
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A!M^&_Hr
VeWm~E
1、三角函数本质: ox\FkAs#UZ
T)-u2u9
三角函数的本质来源于定义 Hbn5mZ&
f!! ZbS$
l
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PE;L]i
u{q$L~c
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `HX%i
pV(_:
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 1Nr<_Za
qd<AeaMD
推导: WX"ar{
ScxMP0d
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 s(!vpCM
77y|zgj
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j|s5J6;
I0!,Xel
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) z<7."$!
/ghbICvR
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 e
p@Kg7q
!BR9BHZ
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
a,4!
Fx:O^Wh
[1] Z^J`}Wf0
JVu|3c-ta<
两角和公式 $IVOJ#\
/@_[7&oC
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB TF"J\~8G
FX.39uT`
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ZGpy+=p
r
VL=4v
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB y-XN
M+
mex:#tq
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB .X<
73
Wr:.?i
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TX+p!}dI
TdimS~3
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) m,WoiTI
,VY?YSF
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) gBx[Rns#{
=jPW*
2v
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 9B/v99k>
J_Cv:%\q
倍角公式 @bA MZ+
uB
S 0
Sin2A=2SinA•CosA O/T1>Js
s@Nd5m
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,F<iO!Te&%
D
@b .0
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) I0~uSpW
`_%`0 jMjs
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) qi@QX}Oe
e;pRv
三倍角公式 EF]?L"vQ
j<2u);Q
?5g4UJD2P_
t")ml<Zn
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rv`0j_r?
rRK/QT&`
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uNi3#X9sJi
W<i=k*z
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) xH)[T_
K+jLA_">
三倍角公式推导 }t!2T\E
ixx`K.xW_
sin3a k/B`z
L
0y'`-V/K?
=sin(2a+a) O6@++cYN
Yz)}6dt@
=sin2acosa+cos2asina $k/R1CT~x
60D)Uf`c
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina M,}keYk0qM
zXulll
=3sina-4sin³a L:>o
Tw_W
n [A8Ln
cos3a 'o.x8]m[+
+SQ" `]4l}
=cos(2a+a) BPbar
,W0y;iS1
=cos2acosa-sin2asina #qt[`' L'
=);V
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
2S.xqYFG;
p@P#@:5
=4cos³a-3cosa IV{a$|L#
5A/${&I
sin3a=3sina-4sin³a 1q
N]2qq
spq(
=4sina(3/4-sin²a) ;|k$9_
9Q@YuNdp"
=4sina[(√3/2)²-sin²a] a~yQU
zI8
^ELaA@8kI
=4sina(sin²60°-sin²a) *gE7C
mG>(UmLRMz
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CD3a12%!b
QF4N2TF
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0?(&Ym/Gb
3GeqLde
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _,ZcRL
c{+?8,;mN
cos3a=4cos³a-3cosa ?Ltc6@f<
Vf&0-9]
=4cosa(cos²a-3/4) @9Bvofs
\\b@S:
~3
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] wq'(- bf
7#Hr 3=
=4cosa(cos²a-cos²30°) N2!o\&j\r
(h^U1M
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NXi#H$
XxS"M\N
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V?sW}!o
~95 }.ci'
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) t@ j{z
K
8I}Bbf7S}
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] d~*,=G
neKU
S^
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] d8Ma=9N?+@
B{Zjo6@
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !$1]4J
}i8VepW=Z
上述两式相比可得 2eh9kzu
V
TU&i+ e|
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }^h'x03_
.i=iY &.
半角公式 Z5@LX:*0
get[rz
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); w<}`~,U
nV,C^D*
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. jjzr~#
-c8LsNG#
和差化积 NaFl
F :`
h9~' 84
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JsWQ7@[
p:a
jw
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i`1Xa9C
Op1Yycp0
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A{Xo2[~cY
4.2 ,($
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ls3p@t?8#
x*zpeAU#
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $f#~3i%<m
D}Efil`"
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ekXFQ/Bnu
f$mPHJ
积化和差 =$E}<#2<
(Z/\7Jb
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
>Lip2x
y;Q*x6>7
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $ :ZZD+!tn
+C6>9B=8S
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9TJrqw /
1l`-[cO)
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
~TMp"J
^*)Q8CC`
诱导公式 dG2%^WO7
*"X/\LV
sin(-α) = -sinα JRN=H)
c%tr7jXs
cos(-α) = cosα
6MJ\,r
aN
0)i+?
sin(π/2-α) = cosα "]~&5fcP,
!t3<zuW7d
cos(π/2-α) = sinα h_+7^ nZ
ke#_#\!,^
sin(π/2+α) = cosα q |j&\wm$
Y#=">k
\
cos(π/2+α) = -sinα c:)[eg
~ug`mN
sin(π-α) = sinα sESy<`
P
u(JCA4
cos(π-α) = -cosα |RN=<>8
t';;Zs%$e
sin(π+α) = -sinα Z vYu.
9aZ]=@[
cos(π+α) = -cosα u\PVb`TS
XEwEngT
tanA= sinA/cosA 1K24a.
p(y~=H;J9x
tan(π/2+α)=-cotα 7Ew<ZS
DW:RG1-[Gx
tan(π/2-α)=cotα :vtn{j[o
7*D@~j b
tan(π-α)=-tanα 2 NeP'
MUkaDiTD
tan(π+α)=tanα wio@J-{
T4}zl:y_e
万能公式 b1C!-@&
~N4L7"6r
t.aU,\2
`xDk
'
其它公式 Zc$eDD-Ep
u]c
Ri
(sinα)^2+(cosα)^2=1 +j~p2U;T%&
3u_&HJK\
1+(tanα)^2=(secα)^2 =.="CZ
fbZhJkL
1+(cotα)^2=(cscα)^2 `}K^yS*|
gB1Ft+^l
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 5sJl]
[a
j279y|~
对于任意非直角三角形,总有 34i7adc
.|{KL'pDl
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC OqP|W@
{h/
yK#".2)s
证:
%/BsoaC5`
Ma.qR9
A+B=π-C JeF<z7W&H
@T q= P
tan(A+B)=tan(π-C) sLpf{X4
]0#dbg^GxS
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `el|!lkO/B
b{<&ir
整理可得 (b7(|Jc0s
|QQ'`t6*
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC uB/|}
<)$1@NR:S
得证 j|^l u*%
5FpwGOF
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,wgne~}H
ui/]x
其他非重点三角函数
!hMb#)\
l@{48YD3
csc(a) = 1/sin(a) EME*tdAD
SIyG?~@
sec(a) = 1/cos(a) h(|<d*{8w
cZ6xftC
$m<c7L
vXY]*KqR
双曲函数
g@lc $
A(U)Oz4[D
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .!XR
[G&v
4/2?JZ^8
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ks3#ITMk
PaO ?'8
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2fb.0{hx
:xhfC nx
公式一: [
u7~
1KEIJ756
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 2+aW7KV
=2sTho<
sin(2kπ+α)= sinα kjH<x`
m(A),q;N
cos(2kπ+α)= cosα 217;H_
B/x;Ia8
tan(kπ+α)= tanα vUAi"]K;]j
;_n'Dj8<
cot(kπ+α)= cotα t0!R,K
w`Qa^25]
公式二: UCUPp
~N>~Q`@
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 7OE|TFlK1
#+s+H\BAOX
sin(π+α)= -sinα {Jj7C&5lp/
^
&;6vD
cos(π+α)= -cosα (:Fz><@X2
/ .H4f MR
tan(π+α)= tanα $uV ;M3RW
)>'w7 ^
O
cot(π+α)= cotα >G%TjXy
(pkd8F XI
公式三: d$lel*
#
BfC24''
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: HmR/t1
xP9
/UB
sin(-α)= -sinα OyA9PGK
Qx.;YD
cos(-α)= cosα KEk '@
rBlt.3i8
tan(-α)= -tanα &JTpM<=
.!nYkH
cot(-α)= -cotα _eh'Gm<d
Dfv*)a
公式四: !C<K-1yOI
yP%J{Rx&
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ~6/%<Sw&r
a7Kl&P}9b
sin(π-α)= sinα Ocr
IB 5
l}6lJ9Pw
cos(π-α)= -cosα UmFxYEo<-
M.vKAG,
tan(π-α)= -tanα HW+K+5Nj#
5B9_JS
cot(π-α)= -cotα TJ3m~pW
l;s,c/+)b
公式五: uwwLp:
r>@&C!_
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ;TV_~q $
^l_F%Y.'P
sin(2π-α)= -sinα z4+h#T?
wS95hpN
cos(2π-α)= cosα P[ ]
H<o
eU)Cu`a
tan(2π-α)= -tanα jvc=
d:72(k >9
cot(2π-α)= -cotα 2^,^F;t~
(g&vI\xk04
公式六: ~H&{8{;J'
} /v:k
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ;F<E{uU
!4F{QS
sin(π/2+α)= cosα hTJI+>
WL5Ie'Ha
cos(π/2+α)= -sinα /,7(UwI
NsB<l>8@
tan(π/2+α)= -cotα y
OBH
cN'
RBo{&Y|
V
cot(π/2+α)= -tanα rU+0~3`
/cp<m=Yf
sin(π/2-α)= cosα e>`4EQE(
y[he63
cos(π/2-α)= sinα rbNTJ
~X;;
~c
tan(π/2-α)= cotα G+`j
pNYwab\
"z
cot(π/2-α)= tanα z.|0YW,
Z{ dE,rv
sin(3π/2+α)= -cosα *qg-5
(c BPc^/
cos(3π/2+α)= sinα 7!SNdMo
pJ6%8;d@
tan(3π/2+α)= -cotα Hm
R?,mJw
\wQ@e) jJ
cot(3π/2+α)= -tanα \+c;4&|Y
^SD)*B#
sin(3π/2-α)= -cosα `:)?fIA
+!VKK@c$
cos(3π/2-α)= -sinα Nk!e2X
( i[uo&
tan(3π/2-α)= cotα |D
:_.
z;u_N)/,Zp
cot(3π/2-α)= tanα ?g`9>+z,
!s
q];
(以上k∈Z) OYSg<LSN&
hTFA@O(
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 u1
1K/u
O7myvVY
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 'l5Fh)c{h:
AZp&J
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ZvYX7-(
L az#YA
√表示根号,包括{……}中的内容
![](theme/default/images/sigline.gif)
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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