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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 J%U7Hu5Tp  
E G8gl8  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _;7[6W\  
QGgC{;&  
　　1、三角函数本质： Bm[K2^Cv  
9JrIP  
　　三角函数的本质来源于定义 )vse 3<SB  
$C[\vA}  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z8v3WU  
B2K DyT  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $v85eaV4  
" +xiy:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1WT n|-?]  
^~H%8t#N1  
　　推导： D 'lEc E  
olj8[!kNG;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ^<t'z2_p _  
HCTXj2r  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @u-/HkG  
J6^X{f-Uq  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .}xED8E  
O;4G?[$jp  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *l6f Egw!  
LcdI_s|2  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） j3rvS61  
iiK@G=tG  
　　[1] Pw7Zmc gW  
Kwu0,@" &  
　　两角和公式 W M k_H<|  
`"Bu=MrjIH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB a<%jC+  
I^&5.K;/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  s?]0ai2+  
"r$G!E_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB )D!rEf`.:$  
x<n>/(#-  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %2( ~bAzk  
R<R)sbfk  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) nkJH-;KE5  
$:lb ~}F0  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qQW@"bKle  
U034Q_yc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,ei<jmuN  
X&+)DV%05L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y=c ;i%i=4  
7.W8:^>2  
倍角公式 ]vQIs jb  
EOjz.y  
　　Sin2A=2SinA•CosA :u LQ  
?SgwiWa  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 bY&g#o  
lb>gBpLmQ1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4uQBcAK  
K_Z%0Zm5.  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mJK ?uV{  
n*@Q[=  
三倍角公式 _e PyU6  
~^]}D f%  
　　 $~}J4 &<k  
YEL |etz:s  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {dZ@zooC"  
\MS2\`"  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) t-nDg)  
e`Te8z, s  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )$j1R1q4  
bRvulh%:  
三倍角公式推导 6eni?\zoe  
x9S 6B  
　　sin3a . + +L>2h  
%{i-6y  
　　=sin(2a+a) F bX:e q  
l.<p/3/u  
　　=sin2acosa+cos2asina !#q{ +Z2x  
i#*l1  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina cb%QSx[  
Bi}tq!  
　　=3sina-4sin³a nQ<D @  
Wb8Q{PV}  
　　cos3a Sm4kpX<H  
^[<|`>DL  
　　=cos(2a+a) KG"@i$1  
I#!P2c0H}  
　　=cos2acosa-sin2asina I9+mOrR]  
H5:O GAD0  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa xK=lw~@1'"  
Sz0Jvn  
　　=4cos³a-3cosa l%s'qzd\}=  
XP(nPJOI  
　　sin3a=3sina-4sin³a 70Bu 'X9J  
xi%W>0#B  
　　=4sina(3/4-sin²a) -5lBxWY/X  
(>>pPoY  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^Z8}(<Lj.  
Q \' 963  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) I+H>|}A1  
#^XUES  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7ypq  
-EMfgBbu  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] DnZCr<:2Fh  
 A]nrQ2  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) p/2w vVG!  
* 3MHFYe0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa $vG3irQ  
f5De$#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) - %}G   
7,-Ug/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] c!kTp]T  
e_w @X35K  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Q/A=B  
1g 7Y0>0Ks  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ne7"O6"b  
G/=w6_I  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} i>bbheB  
'%Zl@9FQ\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \i:a%/  
wR3t9!066  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] go#_FVV  
DJxf/P86  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9HpXi4v<  
<_?w"hC\v  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) "d| ]P4JF  
M*}p,JD3\I  
　　上述两式相比可得 *p8:tG"U  
"fB%cCx  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) t $M+;  
7[8D&qi./  
半角公式 {n lzR7+S  
dQQ&2(X  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4El"=O eB  
AcLGREMO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. w1x,v%vV  
s7hZZWX  
和差化积 N*1 C=UE  
^ c@k  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gjGY< B4m  
&ALd gp  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4isyF^",Ha  
/.xkJn  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C8rzb^r'Lk  
Z{^*J(vG#  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ZG>9lVUC4  
b^77Nr#S{  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) q_h O~]  
u6/olv  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) X!|ZP4B  
A6Hd=&e  
积化和差 Z&JFuP5%'  
Mk3:nq+I9  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7V2UIK'^d  
%xr=n 2  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] @<>n}vn  
7*j/i,t  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] n4t0C uK  
t)iv%d'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] L ZayoFx  
_ jLYm  
诱导公式 gvgo~ \h  
oBd6>8p@Fq  
　　sin(-α) = -sinα I8NQ6:eV7  
\[DM2S~  
　　cos(-α) = cosα Nr<,7r  
 f%-;{aY  
　　sin(π/2-α) = cosα C[O~nad  
W'SPw V)  
　　cos(π/2-α) = sinα *`hW.}Y  
_F!hv#9Y  
　　sin(π/2+α) = cosα ey\MH#;k  
\kH0T  
　　cos(π/2+α) = -sinα xL$|iL  
.~oMK$  
　　sin(π-α) = sinα *?JQ2G8L>  
>G2<MNu  
　　cos(π-α) = -cosα 2 ]%lu  
KvEB[ gJ  
　　sin(π+α) = -sinα u^(1N5KI  
?.5eR}! y  
　　cos(π+α) = -cosα YN Q]!r  
T qw`H`(0  
　　tanA= sinA/cosA E~S`@$Q]  
!%!hhP1:  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα {@"U:n  
Q~Iwm5U#  
　　tan（π/2－α）＝cotα -]ph_&  
CXI!<U\  
　　tan（π－α）＝－tanα ePGi}m5F5^  
nm6q#}5<  
　　tan（π＋α）＝tanα ])A-6|f  
Ij NZ0Q  
万能公式 u]"4+b)  
$#U]Vu84  
　　 BF*&6tvVg  
- KKG1D  
其它公式 9xC7X8V@  
vH#/l  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 QvwxUeBk  
rG;W', ]1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =?USFx  
w\[%k p  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pO11-v  
`]EM(q\dj  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %w1iD4@c  
LIGy~  
　　对于任意非直角三角形,总有 r0dnccj4X  
e#(mV'#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC . K\ANz  
>1 8 u!E  
　　证: ps5 '_!<T  
{+>\Dl$1  
　　A+B=π-C ,&^q.|vk6(  
aF6s8`  
　　tan(A+B)=tan(π-C)  I;A#:  
)Bk" SO  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ( > B=}`  
OOH:a g  
　　整理可得 K5{qf6zD  
 i) }xj:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eM.Q @  
b%| ^}hB  
　　得证 `M_#'}o  
s>aO!~nC  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 P$Amtb  
|.f;mx  
其他非重点三角函数 Zm` >'g  
*9F[_vhj  
　　csc(a) = 1/sin(a) 6O kz6t)bG  
8 Y*0n  
　　sec(a) = 1/cos(a) Pt]g{mD]C  
[7/`sH.M  
　　 haI46$va  
qj ?by4O;  
双曲函数 :R'gRT  
PchdC|Q  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 37y+0hLB  
Pczza~QH1  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ;}l?i!6U  
a\Oggy  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) %'*S4-~  
+8rW,Y  
　　公式一： n?d e  
hC}Jy*X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： zJ0Z,K>  
g8 RM5`9c*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα &3j.:  
b-j &zs(*  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ~>.y-0}  
jr4Gd;@@  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;A8[DF  
1w3*p`  
　　cot（kπ＋α）= cotα i`JlOtH1  
B$iXG1  
　　公式二： Rwd CG5b+  
t& ?x'4x  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %m<9pZw  
b{hbIE&RF  
　　sin（π＋α）= -sinα 1!a'!9arC  
t)zC Cog  
　　cos（π＋α）= -cosα }j4*5NGq  
[u0|T~7c  
　　tan（π＋α）= tanα ,>'=`Uabu  
Z:!> E^a  
　　cot（π＋α）= cotα Q.Y8hTH]  
kTbsXg[S  
　　公式三： D =cE3D^P  
<D}O#=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： RY+6%A7Ja  
FGY2E  
　　sin（-α）= -sinα n!ZPV$znT  
?#Eb  
　　cos（-α）= cosα M06"U4@_  
\y8PA  
　　tan（-α）= -tanα V-[!&?j)L9  
Z1Wm<.bY  
　　cot（-α）= -cotα 6sc:S-3o  
]16a9k<,  
　　公式四： TN>)Fi6~]  
qaP>|&ZRK  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： O%TcL!  
!VN@m? Hh  
　　sin（π-α）= sinα 7F0PDlI+A  
086, 9/c_  
　　cos（π-α）= -cosα V7dFV qy>-  
gl#5p/  
　　tan（π-α）= -tanα X[;m `@H  
tpM|1Ecc(  
　　cot（π-α）= -cotα 3eyk_PRt%g  
tu:Cu6O;e  
　　公式五： 8~G`=Q }  
u:&6!^*r5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： |Trzw4  
q v3R6U  
　　sin（2π-α）= -sinα T_rkH%XwK  
T6V4Uh&?1  
　　cos（2π-α）= cosα DH &T#-  
e>mG4qeRV  
　　tan（2π-α）= -tanα 4^pSI8  
9G'hBRY  
　　cot（2π-α）= -cotα TfQEm]A  
>!D|HMHXF  
　　公式六： $ +yQx  
;tI5p9k y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： iMf2zWC d  
pg/O4FsTO  
　　sin（π/2+α）= cosα N]j).udI5  
]G&^-}9p   
　　cos（π/2+α）= -sinα ;(p9d[S  
Z2f^%/xkB  
　　tan（π/2+α）= -cotα k9?[b:}U  
jD$G _  
　　cot（π/2+α）= -tanα V y/7gH  
>PtK+U/  
　　sin（π/2-α）= cosα Z0@ah`8v  
t|L|,2!U  
　　cos（π/2-α）= sinα s(CHpo5  
>j<p7)Mu  
　　tan（π/2-α）= cotα ZinQo0(  
_9uCm~^  
　　cot（π/2-α）= tanα s/Z%H:QH  
SR4/3  
　　sin（3π/2+α）= -cosα JAI@ZKw  
!2}(JJ:  
　　cos（3π/2+α）= sinα e|Hy~PO+C  
<1~r<E}:3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα {6m ,(\rE  
7-h6T;5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #^}:JX  
lP~{+Xy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6Ld< '=  
z):xgz[\  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `O+Pc];&  
(:w@4gjG  
　　tan（3π/2-α）= cotα oj$&\)  
I}K 6I}y  
　　cot（3π/2-α）= tanα {f4S~mx  
ILo k+AY  
　　(以上k∈Z) q\78cYN*s&  
Kgz>SUY  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 pPA^+9O8y  
IFItNC)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1I2:Mye!  
D@ 6G95d3A  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Y)]Ejir5>  
3b(?](~C  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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