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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 /Cq=I7q  
ZLZ75/+L  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +tmn>Y f  
QFl_+ $aH  
　　1、三角函数本质： $E0[-&rT5  
ZY-v_UqyVv  
　　三角函数的本质来源于定义 gQikK8X  
2khCy|xxG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 rp)LT`B  
Lt+Oq_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 WR%?dRaL7  
y!'\P5g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Rb 'M}b6E  
]jMzC(/  
　　推导： C o4 O %  
bI:aDcl  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Fi}!i+s"  
-O^}}Wto  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) < ,?2  
oZ#c6^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y{gH.{s&  
E<8IN)!s  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 WJQb /O8.  
f[4 NLs  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） x&WEqn[wZ  
xBIw|,+  
　　[1] +rIRv {  
3l^l dUc  
　　两角和公式 q Zg1/:p  
,1,G28Y7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Z>q  
\96Qz'J*\S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RMFP Wr  
g9|GDEh  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <;]>(3$b  
T[wuM) SE!  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /$re- *^c  
T@t/G.k~  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /HB"d`U)i  
u]0}Fo |  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^4gAiu5.r  
=FWA5\E4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  P,s0\*l  
,A!4bcd01  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t+qW(jl  
v$vOC`h  
倍角公式 s#n:}'  
G)3Dos\0  
　　Sin2A=2SinA•CosA 6Kiz\0@B  
ZSP8=f!'  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Xnkf)bZ/,k  
 LijVX{  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） JI{N'tw ^  
-}rLn|j/-<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） D|+w2W'  
1eS0;[2W  
三倍角公式 7>~!q[+1 [  
*36Z<NUH  
　　 *{~qiZ:\  
~!b iJ f  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) @YU*:?-  
:~W{ {  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) N>p%\  
8=% QY,nD  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) `qjN6+a'Q  
A\@ <2M;\  
三倍角公式推导 0,6i3[4!  
Ep'4Zd  
　　sin3a T]|\x5 K_)  
X?,0uj  
　　=sin(2a+a) ,Dn; +XJX  
X%I|e)  
　　=sin2acosa+cos2asina ?{r<H+y  
/C|8#8 Mk  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina I}Vpq+O-@  
7$lhN{CID)  
　　=3sina-4sin³a o35vtOe?4  
BjCUi  
　　cos3a &i7)  
-}g+QMVi  
　　=cos(2a+a) !P#O{ M!H  
Pdt}} D@G  
　　=cos2acosa-sin2asina <B7gRBHB  
!hrAU4g6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .LW%"fAFy  
}694v&  
　　=4cos³a-3cosa ~nt8*haBA  
W :$ n)d  
　　sin3a=3sina-4sin³a #GtE gXS  
jX.MHecI;  
　　=4sina(3/4-sin²a) d~7Q]H#Y  
+>19SOA  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AzZc n]  
O;LZ4Q/g<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) H47t7sl z  
pnaaTsNF\(  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 9J S3\  
:4a H1l}*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] B h +MMy  
),\#sY O2&  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) akv{GOjL2Q  
9-ErX^p  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <aL<a&1cv  
>evDVd"9  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 7 AA[zB   
6f6cR 9\9  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 'L{wkhM=  
}v` B s1z{  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Stil<"Y  
08Gavjtw  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) XO @Ot  
;FR.Cx_q!:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 5[`[w7;  
#Ss7,ZAJnn  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {6 a&/(;_1  
~Z%M6  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] wfaDs2e*  
nC0 9nO?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] DTz 3Ym w  
r;D.'l0  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) g's-WZ _!  
aDrx^ad  
　　上述两式相比可得 @uE w Qux  
'8_Dkiee`L  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) A zw5q  
%|?qpV  
半角公式 db+z |+*8  
]bP7?E<1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); bCcx?xs  
XsIM+x  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4hHMaU[  
SM$"<.x  
和差化积 (_K%N:wr  
sdVeH[.:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] z^+uBRX!}[  
6 ~jov9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Pi`g&\c  
 nj <F  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z\[H9VC?  
gB!{AO  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] po9`H  
|^*w-wt'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) P)SOi*tP8  
gBcWSS  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) B`RA=BaS  
#S~nMMFl"  
积化和差 ^nHd A6I  
J.%l =bT  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] a+% 8lblJO  
&N. @PQW.  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8tC>d G:!  
j St'b;T3  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9  T;[\`  
ZudG|r&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] f(p tvi+3  
`]`g(&/<e  
诱导公式 =l1):/\L*  
,+.gG\&j  
　　sin(-α) = -sinα O,cR*Vim~  
F3Lo9T~  
　　cos(-α) = cosα 2 fKGL_  
9 mFHp+@  
　　sin(π/2-α) = cosα \;u)dmdaaP  
Q)6dou\P  
　　cos(π/2-α) = sinα * x pp\i  
)>' @%G  
　　sin(π/2+α) = cosα C%-_D|_W  
NU9n<~@`E  
　　cos(π/2+α) = -sinα :K~'YO|  
S1O&w  
　　sin(π-α) = sinα ^:*AB0`  
f_,=i($D  
　　cos(π-α) = -cosα ;VIyQ5.ST  
^ _?XdW  
　　sin(π+α) = -sinα ;m3 6E0  
}$co l[oc  
　　cos(π+α) = -cosα tI@QrKsz_  
TYfoesTaQ@  
　　tanA= sinA/cosA 2 : 1OYf6  
oMy:!F  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  mbp x$H  
Z* pX=#Cb  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,:sO4:<k  
=F}Hnlq/"  
　　tan（π－α）＝－tanα  m\TT41G4  
uUnOUN[yN  
　　tan（π＋α）＝tanα i !F)kpN  
48wu6 R#k  
万能公式 +Ibp"c>Tg  
%`"BQ_  
　　 q%D9i\n  
_hehcoJm6  
其它公式 m E^?b  
l"V!P2,Mz  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0E5<Bb<j  
!Is PtEF`  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i~-`/Br  
V\gsR"v  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Xpr %s  
=eg{sn  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %zH^n"3^\  
Y%CC~'wK;  
　　对于任意非直角三角形,总有 t: $!$H{\  
"_C{/*Mk  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gWgT{mJ3 c  
vC=uWI  
　　证: E}i%\n  
G{?(C Pc  
　　A+B=π-C v.k8RmDe  
 %E3{H p  
　　tan(A+B)=tan(π-C) tzyV  
J[VQ wJ ]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .oqsel[z  
q"12]KGM8  
　　整理可得 '? q2 ?O  
j4$Wq1t  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >K 5L]  
n9ypB@cU  
　　得证 j* su[  
c:~=mz["+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 a"xo,C  
tW.&X 3  
其他非重点三角函数 lGPwQgpJ  
EdHN2ZuC  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;JUl SK|Q  
# Zv%B*  
　　sec(a) = 1/cos(a) lMvVp5>2  
LV?3o"  
　　 <.~vB   
h.{U\]  
双曲函数 ]<Q G&  
3E=(1f  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 CqPUd :d>  
"UH(uz '  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 gNYA$g8  
hSu+E Y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 28FV>b  
q\%Of7%D=  
　　公式一： Lz8ow<:B  
FNtZRh  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： yz86>}+  
# 0(,z^[t  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ux9m;ap7  
|mmj 0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα QFU-IqM-<  
{a/o }  
　　tan（kπ＋α）= tanα rfq_ yqNpK  
"fa<x Pv^  
　　cot（kπ＋α）= cotα o )],GuB  
'  n{\`b  
　　公式二： P_ 'j@s  
Wl$ z]5T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： "BC8]:1  
=wnz8LK  
　　sin（π＋α）= -sinα Z.L2])  
68nI5srl~  
　　cos（π＋α）= -cosα 6>4njoa.  
{kX]Ts9lo  
　　tan（π＋α）= tanα qqr#nf~  
0<#`<Lm  
　　cot（π＋α）= cotα i2q%&,  
 t!z)qHW  
　　公式三： s}so[&Z  
=v@s:45Q  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }4>K\:^)>;  
CI"l!Hf  
　　sin（-α）= -sinα {m vZ$N(K<  
:=?c6lS  
　　cos（-α）= cosα gi{PW*/  
H<Q@NV$  
　　tan（-α）= -tanα }\(^6G`  
NXy%H}ZS  
　　cot（-α）= -cotα XXB=}]  
BR^C  
　　公式四： w\[-Nk,HD  
7x6}bsIX  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2 YQ<MesyG  
H3O:j  
　　sin（π-α）= sinα x/^ >Jh  
h{Yaic5K  
　　cos（π-α）= -cosα ^39C%(P  
jMg6/7f#T  
　　tan（π-α）= -tanα 2'SQVT.  
RM S)   
　　cot（π-α）= -cotα {7{7q  
2UoAg  
　　公式五： Z-Bs  
*.*J $ _  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： kWjGEE  
iINfF$^V  
　　sin（2π-α）= -sinα H VZ| Qp  
&!6|P@  
　　cos（2π-α）= cosα :,U6~%o:^  
K(lo+][.r  
　　tan（2π-α）= -tanα _g`i=VX   
ia+) *y K  
　　cot（2π-α）= -cotα M|\J@  
IW :/{D^%"  
　　公式六： aNE\BVh  
'@?)o  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )v8-20|0  
?&HeMq`.  
　　sin（π/2+α）= cosα ?W sNqA4  
D3TP|d  
　　cos（π/2+α）= -sinα  t}o/<,]  
B#0AS9bB%  
　　tan（π/2+α）= -cotα `o *K_n(  
OJ>s8uw  
　　cot（π/2+α）= -tanα {)O8lo,  
WA5h'Ei b  
　　sin（π/2-α）= cosα OE]I!F{Y  
.v QlN.i~  
　　cos（π/2-α）= sinα 5e#<q<_;  
lQ(gByio  
　　tan（π/2-α）= cotα ZV{ pa/&  
rU6u\Rjm  
　　cot（π/2-α）= tanα  ^-ffat  
?Y^_em i  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V^y\}q  
DM*uPO  
　　cos（3π/2+α）= sinα wxGYB\TQ4  
Y?,d9x}/  
　　tan（3π/2+α）= -cotα xc,;s^EF  
=6uI>Kr  
　　cot（3π/2+α）= -tanα V^,|>3B  
$9%`mw1c  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -r2|R=tz  
ug\JR. m:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (~AXPN?v  
EAFpa KwB:  
　　tan（3π/2-α）= cotα 6m_[ b EXl  
N[g^|2;  
　　cot（3π/2-α）= tanα Q3$$<-Q  
K-42loj  
　　(以上k∈Z) ~~9rg4SB`  
g<zc7BapS  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 (;4; 4[%  
86B/I?i,/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /pWWq3UY  
{fj e`,z^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <3c*/N  
`^_)sGzh  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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