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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  7[|nI;w  
Z6 h]7#]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. vdspkV;?  
N($6]  
　　1、三角函数本质： u 8|E2('e  
A4DwT'  
　　三角函数的本质来源于定义 y9E(AC:  
ykvQ3}t2t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 H#ehZ".  
` R'&sV/N  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GF @n !{  
hvG+Hk b ^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u<7+|&a  
6$dX;$%Q m  
　　推导： = qC }A  
MKQ.  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,."cG_[  
'yJUWzhPL#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Bkh/@Ym  
V._5{lW6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) J[&k7p$  
nKF4cy#v(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t4 |G:K3  
KrK(,Z-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） V Ea!L  
gzA=v%K9  
　　[1] PB@MrFP  
N^k*X3kDI  
　　两角和公式 #K}Yi4c8&*  
Ddb,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `.[Gm.,  
TFw*"> `  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  QLyxu{ 27  
=[Uf\x3z  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB X;2X<+SGr  
7P/b<Q*Co~  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a-22Nclp:s  
t`R`\DxC&8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) E;07ZF  
ld<n6!W  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5G gR^  
2r1kGV!<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Y: e /c9kH  
qkOi,2+w  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) UZ-K-)KP  
` pQ*/  
倍角公式 Nl&v2|h'  
31/{M9x  
　　Sin2A=2SinA•CosA `J["~sIo  
}Mg[N/F  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 k_8-NBbQS  
}^\  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^j>r\aKw  
A+ZB9_r  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） )-4YD~  
LDMg&x2hp  
三倍角公式 >1nCL!(Fj  
b]egm nW!!  
　　 6RU%' - y  
h zYB_7u?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,Kq .  
!uiM<NNzT  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) j&Niqb[  
-a Ke@ 9  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) eaL4\  
:uQ.Wz5  
三倍角公式推导 HT,4E$V#~!  
et7J{=cE]+  
　　sin3a .Ev-\oSo  
KsKdB}  
　　=sin(2a+a) (-(w p$5  
!C53~MNl  
　　=sin2acosa+cos2asina guxM4?73  
Br. +O  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina )CfVH )E  
dSX}=4q  
　　=3sina-4sin³a ~-zF|]@EP  
aJgxCWbC8q  
　　cos3a 5zI3Wu09u]  
FnBKt*hMx  
　　=cos(2a+a) OKr!;gi  
yWBSw,  
　　=cos2acosa-sin2asina CHTt{jP1~  
w$l=5 @"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 3E78D   
CN\Y=7o  
　　=4cos³a-3cosa }{3i.c  
f!a9!,z  
　　sin3a=3sina-4sin³a |?H*c[w[0  
!| Fg&"  
　　=4sina(3/4-sin²a) hc[b29N  
`RlM]|Z=6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >)k /;#Y:M  
S}Pn"kg  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &[;TC[v  
n"0d_Nc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  1*.Pdo8[  
*;XvXqr  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?u` /r  
#AT/:  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) M'ck45Y*  
uD)C".NW  
　　cos3a=4cos³a-3cosa p %5f;Z  
Rveu'NX!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v\#qV?   
S$/}> Y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~&_S}  
XTTbq5Y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) htT=[%lE&m  
0e-A0 J&  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) N7%:wr5Oj  
JU; n   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} PZvgEmO}  
(y1Go,0O  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 5s:HR l%f  
?? lAE   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ah#t (*tH  
n]W2=I_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zHDT~' n  
-@pQ*Uw|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) (^]HKUS  
^Hin&0 "  
　　上述两式相比可得 *j7&jZwD}  
J]\*l:iV  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) S<%N(ysYe  
G;4x$GW  
半角公式 XOIFkY8  
^w8uy Vzh  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); {qyPG="  
+VDVWM  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Jm5/B}c"  
FiF)M Q   
和差化积 #!{pj]j#  
ky&0G[[  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5jR+o\E  
gn"5u 3P  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2X/qixD[  
eSE8 ZsI  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p<{bu& ~  
Ov-]`JibV1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 8GFLMJ  
1C+m5%u  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Ae>Vz G  
3 Hv|3OY  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) t23We r  
~&RY'x@}6  
积化和差 e =u/v65  
Al&+qnF  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~AxOPkvG  
M oBCq|+MB  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d wKDx5h  
Ru(e)|X  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] E/-z&dH@  
aoUY ];?q  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *6lBw9BC  
r/o6}x  
诱导公式 N$.pal$|  
#Q|t<9Q  
　　sin(-α) = -sinα 0o:>cT 2  
(3R"_4ni  
　　cos(-α) = cosα }9,u[9JV  
Ky_%<j `_F  
　　sin(π/2-α) = cosα 5 !(  
K:S0`5@  
　　cos(π/2-α) = sinα &;G&;#sl*  
gR2/!5b  
　　sin(π/2+α) = cosα R` Q_m:\  
bGk*{&  
　　cos(π/2+α) = -sinα $7VNb%  
+tJ. 2%_2m  
　　sin(π-α) = sinα u%? csJ  
Fmp}ig *  
　　cos(π-α) = -cosα 4WwTt x}d  
PCMih@M~  
　　sin(π+α) = -sinα j}"$`Nr x  
}HS- 1lP  
　　cos(π+α) = -cosα Ngz' i7  
OUbl]/,\  
　　tanA= sinA/cosA 6UR!8gS"\  
i+::~{s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \R-\Fen\  
-oaJ3v  
　　tan（π/2－α）＝cotα Bah'S{ S  
3[_>jo-.  
　　tan（π－α）＝－tanα {+ds?V V{  
<1SV]J  
　　tan（π＋α）＝tanα 7P0E&1  
hz#<{ qz  
万能公式 l$bY+2>ifg  
z;EHyL4%%&  
　　 -vNsP3+!s  
o% %- @>\  
其它公式 D$zzY($pR  
oUg ~i%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 d(j(p+yr  
j,<z6*XR3{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M$HOfD;  
eSq[w}LVk  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :{=pudLO<  
<V@rBXu-=]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 'S4[~Dp  
;yhZ n=  
　　对于任意非直角三角形,总有 k7%WSq t  
*Ow# rT3d  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bu,P*@  
5G9}(c-OS  
　　证: q\G^9"sp6&  
R/T\i% 94  
　　A+B=π-C TYI8]-  
dTvv l|vh  
　　tan(A+B)=tan(π-C) e,nI [[  
z!b8P_  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &ZH3+9q  
>aBO){{  
　　整理可得 Xz.`FT  
6/ v\H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \: 8  
?uXFbxV6*  
　　得证 SQIKp1  
cKC)3()  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w)m/fsH!5  
s{JD 4V*dl  
其他非重点三角函数 v~FzN{  
#RwZ 4(!i  
　　csc(a) = 1/sin(a) E1Pxc-?  
m(-xBk  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0lL<ou8!e  
s8'ZQlt?  
　　 oo\~F'  
P@xj-LtX  
双曲函数 `MS,X  
n[ }H*7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &uzv(rR  
|yB K05  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p/I{|H  
uGcomTQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )l9w0  
L3W1 hjG  
　　公式一： Q%BM (-N`|  
c|sgy'c`1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： vjIZV&aO;<  
%I:ZKz/  
　　sin（2kπ＋α）= sinα [< ^TR):  
%B^w  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <%':"Wi}$b  
_Av#<DaC  
　　tan（kπ＋α）= tanα J5O!Ql mM  
^g AA.5jh]  
　　cot（kπ＋α）= cotα UlE#B<V$y  
o ^#3vjH  
　　公式二： ;0>Z[ SO2  
c=n $  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +2BO8'3oRv  
| {U*lQ  
　　sin（π＋α）= -sinα t18+krBH  
9wT>KrB  
　　cos（π＋α）= -cosα LrOjFGx  
*Zva_gz  
　　tan（π＋α）= tanα T p a  
4mLeD-+*  
　　cot（π＋α）= cotα g5}A4TKRt  
41X7  k <  
　　公式三： R#U97a8 D<  
7a@\*O bI*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： vI< zD  
B;]Y{qr*B  
　　sin（-α）= -sinα \$1n N#  
%<GlJ,aW$  
　　cos（-α）= cosα 2Uq"O$pP  
y2Z^S6C43  
　　tan（-α）= -tanα ;ovV#y^8  
A'mg%FN  
　　cot（-α）= -cotα Hh@ ]MA@  
cb-]2\0  
　　公式四： E3[ jsY  
jg~^3Cvfy  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： JhEahzU  
{Qv_Uuid  
　　sin（π-α）= sinα /sqF2"'4E  
`BKBxs%s-m  
　　cos（π-α）= -cosα ~+Qe6  
u uE)VNA!  
　　tan（π-α）= -tanα `/EW:mI?u/  
%-bxUiiJ  
　　cot（π-α）= -cotα Y +T1[7  
] @o7^o  
　　公式五： kwAt:7.2  
|&aM`C-9  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： a+ClHM  
)~(/;R&zQ.  
　　sin（2π-α）= -sinα 5!>E"0gb  
t,Cr;T9+  
　　cos（2π-α）= cosα I[Z7QkU  
X"lxau5S  
　　tan（2π-α）= -tanα xha?b@  
QT5xvh  
　　cot（2π-α）= -cotα H`[ %)-<<  
s?k.7M1g  
　　公式六： iAOKybOb  
;d&f!  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： d[@>Tc%](  
9N}cF~s:8\  
　　sin（π/2+α）= cosα l[x.tQ}v  
/znR4';/  
　　cos（π/2+α）= -sinα J1v<P]y8@  
Md`$WN  
　　tan（π/2+α）= -cotα \VEOeSG  
tLZmz  
　　cot（π/2+α）= -tanα [p|_b9O/T  
"+,BjP}  
　　sin（π/2-α）= cosα V 1A\qW~  
,S )}MY  
　　cos（π/2-α）= sinα L\ G}KSx$  
c5. RF  
　　tan（π/2-α）= cotα PFCc8zQn  
L8lJoYM =  
　　cot（π/2-α）= tanα TQ$Ws. ?  
T&4os|HHL  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 'm P"3:X  
v~iMw<  
　　cos（3π/2+α）= sinα q^{)zkYjm7  
0W/': &De  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O7'5*\*G  
Ga5*3~F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα T}_ Q  
_m3mB(Su  
　　sin（3π/2-α）= -cosα q<l6I+=I  
Y,\5yu4.-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα SF,4oh%d\  
VJWfvmPq  
　　tan（3π/2-α）= cotα ~_W9A~  
'F|x{@kDx  
　　cot（3π/2-α）= tanα M=wr}atT  
'b"&-QQ`  
　　(以上k∈Z) 8YYSSi$  
{F>G(RILI  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7di=Ln -  
2_q*D'f)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]C4xhh  
:NmjFM$:  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f(a*pQA  
NUky~qF(=  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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