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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 4eVT]Nm&  
:-Wvp $J  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. zN OIZ\  
} My"d  
　　1、三角函数本质： O )&u'%;  
:pl.LHD  
　　三角函数的本质来源于定义 3u#9ctV  
d&"~>>}I  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &w 6:'D]eX  
SDt}"9  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 P_`|"eCYi  
Ml~QM&tje  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： = [QXtihBI  
cWkVc* -  
　　推导： N'O] F0:$  
j:'I>P]Y4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 L4]ll)  
~ Hy|p= B  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Jz 9 [ 'o  
~VfC$ue;D  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qe>&`c  
flmeS1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 WmFWqotE  
zNohlnB}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 1Ob85ye  
XO?zZHO(  
　　[1] $6.]~@  
Z *2Ne  
　　两角和公式 .o{E8 wiW6  
l>:N&x<Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB fx7cch [m  
iP C`xLE  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %ejc/,,  
q;#MG.El  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "G9x>:lpc  
g?h_S^RC  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB PWK N1J  
)"?? ASx1_  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) bTRQkvF/  
r{NtI9N'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &+9 Ab =  
+*X@p  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  #LPG]h*[  
O: NBe2E&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) CnM  
j>(OHk#`t  
倍角公式 ]|s};|cw  
8)&h [k  
　　Sin2A=2SinA•CosA QsI2oI!  
k_f3"G`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &}fpRn<y0[  
p133#@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 93kB@C%  
I#uS"Lu9  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2F+?FlO4  
48x 2Nhi  
三倍角公式 Jk4M%tv  
>Ws]1A^#  
　　 .at-;@#  
5KV* ,<RH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a:({% l  
HQujy7Q  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4HK4} sq;H  
#wR;\L %o  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) (|s 4AYD  
2BU$  
三倍角公式推导 YF<Yi  
d9L?u8de  
　　sin3a . /6_*(  
C2!mZzum  
　　=sin(2a+a) S 8d\jo  
F %<];eY  
　　=sin2acosa+cos2asina 0c\^$.S  
xwi[Hvi-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina WdK ,(U  
DUba.(bU|  
　　=3sina-4sin³a :l $E&M9'  
" E@Ia%J  
　　cos3a xR u{$=7@  
]; )A2ev  
　　=cos(2a+a) #X>vTk+b r  
-t^b@o_!  
　　=cos2acosa-sin2asina n"AZX*@?=  
_U4\rTh  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \-[ C%8+  
f( U@4  
　　=4cos³a-3cosa +nC'CUr^!  
4DiEc'd  
　　sin3a=3sina-4sin³a PY{b5<k&6N  
hPq;[QKl b  
　　=4sina(3/4-sin²a) C`SR [   
?vs<Jprc  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] aKW>^#qE  
j(8fA,S  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 90!GJ(c  
N!2D+By  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kQ7f,+t8  
uVTz:/SO  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -9?3)R[T9  
" `4eXDS  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) IJBz9U  
-Q xacaS_  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &5.r l"{  
IkD173y  
　　=4cosa(cos²a-3/4) :@L(6t{F  
mn)U7Q/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Y LKt#  
s ~ME-n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) j5P{1u=%  
{`.xar  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ldZBbn1 Z  
H420/2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ]lNc`^  
63DfMc"{  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ':HdQ,cXUj  
kIiImC:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] pb+~:f]|U  
2e,LoG)X  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8<{=|~XGR  
.`]0gPd  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) F0>n;GFr2  
6Z IXYV  
　　上述两式相比可得 }:KPW}s+  
}|xP *.EW  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) N Vh.24  
cdFz0t*)l  
半角公式 d \ M en  
h,0 ]<  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $69{9{#h  
x0R%8C{`L  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. OVmF 6t  
Vb"XY^pY!  
和差化积 "z J j?'  
Gv@8YGe-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6YCbgaN%|  
YY@ $~9l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,l2%\x{  
W9i7s;d  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $g>G7cOv /  
wqF1T\ I  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l boiQ   
h)xu.@  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) W-iG|Di+  
8v RsUS@m  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) uT md%z<X  
dMbp<=?c  
积化和差 1<9BG+0+s  
nh>Ul7($%  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !FI Y&f 0  
>.FUZI;o j  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6[5t f4|  
&0jRn\  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] u/!\?V*WIZ  
rJhk9/1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 8+ g)m8*p.  
_zkO}U  
诱导公式 U*$"auF/  
SA!S[vvO-  
　　sin(-α) = -sinα 3_W('q8  
g+Nnvv 9  
　　cos(-α) = cosα \V:]9@r  
q?P .qc$T  
　　sin(π/2-α) = cosα FuEZgaHs  
83lI*7`  
　　cos(π/2-α) = sinα set(mJY#?  
vt"p6ap  
　　sin(π/2+α) = cosα .CeGvu[,  
yb`1tN&Gg  
　　cos(π/2+α) = -sinα p1k&H<  
./$m@qzZ  
　　sin(π-α) = sinα 5s7VB6PR  
-9Eq= *Wn  
　　cos(π-α) = -cosα (-f iuZ  
1(`_#_ uZ  
　　sin(π+α) = -sinα 'i]C=7/  
qCtA7&T.CQ  
　　cos(π+α) = -cosα "F2(P5#v  
<yU3ja;   
　　tanA= sinA/cosA Z%)t1BjnK  
eA-^C{o-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R|9Er,dy  
,ChJ[aafJ  
　　tan（π/2－α）＝cotα sh8F7Ck  
Jc!*MdW>  
　　tan（π－α）＝－tanα ]?cG]8UW=  
,uv*m|/0  
　　tan（π＋α）＝tanα P2IUo.F  
%Wn_3Uo8A>  
万能公式 <z8T 1Lq>:  
2U;(d{  
　　 c h'1qkcS  
A<\Nx   
其它公式 yHJ ITZnj  
mr!+p!:u  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 : Hnj+H  
( {c#Wy  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `s b0TN  
mbXc|jw8  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 yn4;<*b30  
%eccz.&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ):SxLK!`Y  
,S)Y\;wu;?  
　　对于任意非直角三角形,总有 =.P=)O  
'&7euqz LU  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a3awM,y  
m`.\=I6XD  
　　证: )k2#A2UIp?  
d~XT]  m  
　　A+B=π-C Tm X[h*X  
=#W$'j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) JdP7 z'j  
~k8m L['B  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) bw1,f r;(D  
L(:&9@9w  
　　整理可得 ?[=d:F`$  
WCdxg')  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *7{:DBM  
mlNH[qL{z  
　　得证 EqVt-#x  
T*3 Up5lf  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V[B449   
9m:_g cl  
其他非重点三角函数 q] nr%~  
P4>N2- cdV  
　　csc(a) = 1/sin(a) 5']5%E>(l  
_>rGXsI!  
　　sec(a) = 1/cos(a) W[ )1~f:  
`>_(b:?%  
　　 W"ny%"   
"d ^NQ  
双曲函数 N`ZWt z  
|Y1S3M  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 E3j}N6SVP  
VQgD<mnC  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /EfN]%H%  
;0 bqU  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ],^_.{:  
/sjr^X3  
　　公式一： !Cn_fM\!  
!y<Ia2  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： mi5<!Ce  
6.f`]d2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 8e1! >5  
8|edLlc<J  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p< ilw~ u  
AN;T|E+L  
　　tan（kπ＋α）= tanα \gho>h$eg  
9] $,$f~9  
　　cot（kπ＋α）= cotα D?]%}VT  
D5@ `-k  
　　公式二： 9VY~v er  
aF!`<)=+*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Hf*8_,@3>  
HFh*@ Mn  
　　sin（π＋α）= -sinα )j_ A|(o  
c|[M!!<  
　　cos（π＋α）= -cosα w{H7tCgJ  
J-5YNu` #  
　　tan（π＋α）= tanα -ErU @  
5o\Xds8X  
　　cot（π＋α）= cotα @rf $9BaUm  
J+@0~b  
　　公式三： $zQO'z (>(  
M6{U~l1  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :5*ItJ`  
Y X ?V9s  
　　sin（-α）= -sinα 5 1gJ\  
F&Uz;wjhB  
　　cos（-α）= cosα  zEsC2<@  
NlTTbVD  
　　tan（-α）= -tanα "Oi%'k7Qy  
P}I=g:h  
　　cot（-α）= -cotα `N5'hi"O  
& 7eLMLOh  
　　公式四： +{m !C)r  
=`%m:>Nk3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： NqRm4&]`56  
vP6Zvw:D  
　　sin（π-α）= sinα pb8Jiq")  
[Z }DI-_  
　　cos（π-α）= -cosα YL[?"+qY  
MP.IqI|Rx  
　　tan（π-α）= -tanα lZ/.|SK*l:  
g M$n6Ug3  
　　cot（π-α）= -cotα N.DKK  
D}aVPekp  
　　公式五： 4o\Oz!m2b  
jDhI ,-l  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T_qD"aTc  
8vlP<.(  
　　sin（2π-α）= -sinα v7M]z }@  
O@YNni$_  
　　cos（2π-α）= cosα "&hom: ##L  
" l# jK#  
　　tan（2π-α）= -tanα bA0~?86 @  
-eXoN+I`V  
　　cot（2π-α）= -cotα %*z #6 e  
2=|; -]]M  
　　公式六： A,7*sfG%[  
^4PrZ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： aD!-1'  
}?x 9tZ,  
　　sin（π/2+α）= cosα u4ozF.bt  
P, RU?  
　　cos（π/2+α）= -sinα mP8Nm=h_r5  
?jI_af^  
　　tan（π/2+α）= -cotα v|lRuiNa  
-j ].kpad  
　　cot（π/2+α）= -tanα (M&8 #  
V+#V"M8  
　　sin（π/2-α）= cosα /RA 'uOU&  
)*D  
　　cos（π/2-α）= sinα F*N)HUIS  
Y?mS@;~cW  
　　tan（π/2-α）= cotα 0oi D]nN,  
V@&&e`9kM  
　　cot（π/2-α）= tanα NYQX_X#bP  
gv_Vuk l  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 4mF4f  
Rq[QOB[  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1)|q769=m  
+PeZTx  
　　tan（3π/2+α）= -cotα (E$`m`G  
Lz"="= r>  
　　cot（3π/2+α）= -tanα RemDb#?W(  
=@v.b/  
　　sin（3π/2-α）= -cosα { b[MyIy  
:15tn;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα c8_L ~  
&U8?u[eB{  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^7="t6n  
1HCqRvKG  
　　cot（3π/2-α）= tanα iwpS9  
o/Dbu["w(  
　　(以上k∈Z) Uu Gp/!"w  
39@"U$>G  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 V+xe>8=  
$HpN?N  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Oy4>X.S2  
N`s2\"Lt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } _m=%Ymv v  
y<I!W1Ie  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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